毕氏定理(Pythagoras Theorem)

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  • 时间:2020-07-19

毕氏定理(Pythagoras Theorem)已知:直角三角形 $$ABC$$,其中 $$\angle BAC=90^\circ$$,

而 $$\overline{AB}=c$$,$$\overline{BC}=a$$,$$\overline{CA}=b$$。

求证 $$a^2+b^2=c^2$$。

证明:

方法一:《几何原本》作法

由直角 $$C$$ 往斜边 $$\overline{AB}$$ 作直线,交 $$\overline{AB}$$ 边于 $$K$$ 点,交 $$\overline{GF}$$ 边于 $$J$$ 点。只要证明正方形 $$ACDE$$ 的面积等于长方形 $$AKJG$$ 的面积;正方形 $$BCHI$$ 的面积等于长方形 $$BKJF$$ 的面积,便完成毕氏定理的证明。

以正方形 $$ACDE$$ 的面积等于长方形 $$AKJG$$ 的面积为例,欧几里得利用:

$$(1)$$正方形 $$ACDE$$ 的面积等于 $$2$$ 倍三角形 $$AEB$$ 的面积(同底等高);
$$(2)$$三角形 $$AEB$$ 与三角形 $$ACG$$ 全等($$SAS$$全等)。
$$(3)$$ $$2$$ 倍三角形 $$ACG$$ 的面积等于长方形 $$AKJG$$ 的面积(同底等高)

同样的道理,也能证明正方形 $$BCHI$$ 的面积等于长方形 $$BKJF$$ 的面积,即 $$\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=\overline{AB}^2$$

毕氏定理(Pythagoras Theorem)

 方法二:《周髀算经》作法

毕氏定理(Pythagoras Theorem)

毕氏定理(Pythagoras Theorem)大的正方形(边长为 $$a+b$$)面积等于 $$4$$ 个直角三角形和一个小的正方形(边长为 $$c$$)面积的和。

因此,$$(a+b)^2=4(\frac{1}{2}ab)+c^2$$

$$\therefore a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$$,即 $$a^2+b^2=c^2$$

《周髀算经》卷上:「故折矩以为勾广三、股修四、径隅五。」即是最简单的勾股数:$$3,~4,~5$$。

《九章算术》勾股章第14题(译成今文):

假设甲、乙二人站在同一地点出发,若甲的速率:乙的速率$$=7:3$$,现在乙向东走,而甲先向南走 $$10$$ 步,再斜向东北走,最后与乙相遇,请问:相遇前甲斜向走几步?乙向东走几步?

参考答案:甲斜向走 $$14\frac{1}{2}$$ 步、乙向东走 $$10\frac{1}{2}$$ 步。

数学思考:已知 $$ABCD$$ 为矩形,$$P$$ 为内部一点,若 $$\overline{PA}=3,~\overline{PB}=4,~\overline{PC}=2$$,求 $$\overline{PD}=\underline{~~~~~~~~~}$$。

参考答案:$$\overline{PD}=\sqrt{21}$$

拉婓尔(Raffaello Sanzio, 1483-1520)所画《雅典学院》中的毕达哥拉斯(邮票左下方正在读书的秃头男子)。右下图为毕氏定理的纪念邮票。

毕氏定理(Pythagoras Theorem) 毕氏定理(Pythagoras Theorem)

附注1:路明思(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)所着的《毕氏定理(The Pythagorean Proposition)》一书,收集了367个毕氏定理的各式证法。

附注2:根据直角三角形中的毕氏定理,可以导出三角函数的平方关係 $${\sin ^2}\theta+ {\cos ^2}\theta= 1$$;$$1+ {\tan ^2}\theta= {\sec^2}\theta$$;$$1 + {\cot^2}\theta= {\csc^2}\theta$$